线性代数示例

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.6

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

解题步骤 2.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$r = \sqrt{9 + 0}$

解题步骤 2.9

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$r = \sqrt{9}$

解题步骤 2.10

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$r = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 2.11

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 3$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

解题步骤 4.1.2

重写表达式。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

解题步骤 4.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

解题步骤 4.3.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

移动 $\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

解题步骤 4.5

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$θ̂ = \arctan (0)$

解题步骤 4.6

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ̂ = 0$

解题步骤 5

求象限。

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解题步骤 5.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

解题步骤 5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

解题步骤 5.3

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

解题步骤 5.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

解题步骤 5.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

解题步骤 5.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$(- 3, 0 \cdot 3)$

解题步骤 5.6

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$(- 3, 0)$

解题步骤 5.7

由于 x 坐标为负数，且 y 坐标为 $0$ ，所以该点位于第二象限和第三象限之间的 x 轴上。象限从右上角开始按逆时针顺序标记。

在第 $2$ 和第 $3$ 象限之间。

解题步骤 6

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 7

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 7.1

组合 ${(3)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{θ + 2 π k}{3}$ 。

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

解题步骤 7.2

组合 $c$ 和 $\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ 。

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

解题步骤 7.3

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ 。

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 7.4

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ 。

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 7.5

去掉圆括号。

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解题步骤 7.5.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 7.5.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 7.5.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

解题步骤 7.5.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

解题步骤 7.5.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

解题步骤 7.5.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

解题步骤 7.5.7

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 8.1

去掉圆括号。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 8.2

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 8.2.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

解题步骤 8.2.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

解题步骤 9

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

解题步骤 10

将 $k = 2$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

去掉圆括号。

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

解题步骤 11

列出解。

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

线性代数 示例

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